什么是数据中的奇异值

A. 什么是奇异值分解

矩阵的迹
trace 方阵对角元素之和

Singular value decompostion
奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V
U和V中分别是A的奇异向量，而B中是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。
如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。
SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。
在数值分析中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及病态矩阵，零奇异值通常显示为很小的数目。
将一个矩阵分解为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合，方便讨论和计算。由于矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置， 因此矩阵的特征值分解。。。尽管矩阵的特征值具有非常好的性质，但是并不是总能正确地表示矩阵的“大小”。矩阵的奇异值和按奇异值分解是矩阵理论和应用中十分重要的内容，已成为多变量反馈控制系统最重要最基本的分析工具之一，奇异值实际上是复数标量绝对值概念的推广， 表示了反馈控制系统的输出/输入增益，能反映控制系统的特性。《鲁棒控制。。倾斜转弯导弹》
昨天看了一个网页，，知道了奇异值分解就是把矩阵A分解成hanger，stretcher，aligner的三重积。从几何意义上讲矩阵A乘以几何图形（用数值序列x，y代表），相当于对几何图形先扭转，再拉伸，再扭转。从这里也知道，“正交”的概念特别有用。一对最简单的正交基（orthogonal basis,perpframe）是p1 = [cos(s) sin(s)]，p2 = [-sin(s) cos(s)]，它可以用于几何变换。

B. 在矩阵分析里，什么叫奇异值和奇异矩阵

奇异值：对于一个实矩阵A（m×n阶），如果可以分解为A＝USV’，其中U和V为分别为m×n与n×m阶正交阵，S为n×n阶对角阵，且S＝diag（a1,a2,...,ar,0,...,
0）。且有a1>=a2>=a3>=...>=ar>=0.那么a1,a2,...,ar称为矩阵A的奇异值。U和V成为左右奇异阵列.
A的奇异值为A’A的特征值的平方根（A’表示A的转置矩阵），通过此可以求出奇异值.
奇异矩阵就是行列失等于0的矩阵.

C. 奇异值的物理意义是什么

我以前看过吴军的数学之美，现在让我们来看看奇异值分解是怎么回事。

三个矩阵有非常清楚的物理含义：

1. 矩阵X中的每一行表示意思相关的一类词，其中的每个非零元素表示这类词中每个词的重要性（或者说相关性），数值越大越相关。

2. 矩阵Y中的每一列表示同一主题一类文章，其中每个元素表示这类文章中每篇文章的相关性。

3. 矩阵B则表示类词和文章之间的相关性。因此，我们只要对关联矩阵A进行一次奇异值分解，我们就可以同时完成了近义词分类和文章的分类。

D. SPSS中的奇异值和极端值是什么怎么辨别

spss的盒式图中，1.5倍四分位距以外的数值为奇异值，3倍四分位距以外的数值为极端值。极端值的符号为 *

E. 在矩阵分析里，什么叫奇异值和奇异矩阵

奇异值是矩阵里的概念，一般通过奇异值分解定理求得。奇异值分解是线性代数和矩阵论中一种重要的矩阵分解法，适用于信号处理和统计学等领域。

奇异矩阵是线性代数的概念，就是该矩阵的秩不是满秩。

首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。

然后，再看此矩阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。

同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论：可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。 如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。

(5)什么是数据中的奇异值扩展阅读

矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。

求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。

这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。

F. 什么是奇异值数

奇异值：对于一个实矩阵a（m×n阶），如果可以分解为a＝usv’，其中u和v为分别为m×n与n×m阶正交阵，s为n×n阶对角阵，且s＝diag（a1,a2,...,ar,0,...,
0）。且有a1>=a2>=a3>=...>=ar>=0.那么a1,a2,...,ar称为矩阵a的奇异值。u和v成为左右奇异阵列.
a的奇异值为a’a的特征值的平方根（a’表示a的转置矩阵），通过此可以求出奇异值.
奇异值分解法是线性代数中一种重要的矩阵分解法，在信号处理、统计学等领域有重要应用。
其定义为定义：设a为m*n阶矩阵，a'表示a的转置矩阵，a'*a的n个特征值的非
负平方根叫作a的奇异值。记为σi(a)。
如果把a‘*a的特征值记为λi(a‘*a)，则σi(a)＝sqrt(λi(a’*a))。
希望能帮助到您，望采纳，谢谢

G. 奇异值和特征值的关系

特征值分解和奇异值分解（SVD）在主成分分析（PCA）和机器学习领域都有广泛的应用。PCA的实现由两种方法，一种是特征值分解，另一种是奇异值分解，特征值分解和奇异值分解的目的是一样的，都是提取出一个矩阵最重要的特性。

特征值
线性代数中对特征值和特征向量的定义：设A是n阶方阵，如果存在 λ 和n维非零向量x，使 Ax=λxAx=λx，则 λ 称为方阵A的一个特征值，x为方阵A对应于或属于特征值 λ 的一个特征向量。从定义可以看出，对特征向量x进行A变换的实质是将特征向量进行缩放，缩放因子为特征值λ。因此，特征向量的代数上含义是：将矩阵乘法转换为数乘操作；特征向量的几何含义是：特征向量通过方阵A变换只进行伸缩，而保持特征向量的方向不变。特征值表示的是这个特征到底有多重要，类似于权重，而特征向量在几何上就是一个点，从原点到该点的方向表示向量的方向。

一个变换方阵的所有特征向量组成了这个变换矩阵的一组基。所谓基，可以理解为坐标系的轴。我们平常用到的大多是直角坐标系，在线性代数中可以把这个坐标系扭曲、拉伸、旋转，称为基变换。我们可以按需求去设定基，但是基的轴之间必须是线性无关的，也就是保证坐标系的不同轴不要指向同一个方向或可以被别的轴组合而成，否则的话原来的空间就“撑”不起来了。从线性空间的角度看，在一个定义了内积的线性空间里，对一个N阶对称方阵进行特征分解，就是产生了该空间的N个标准正交基，然后把矩阵投影到这N个基上。N个特征向量就是N个标准正交基，而特征值的模则代表矩阵在每个基上的投影长度。特征值越大，说明矩阵在对应的特征向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。总结一下，特征值分解可以得到特征值与特征向量，特征值表示的是这个特征到底有多重要，而特征向量表示这个特征是什么，可以将每一个特征向量理解为一个线性的子空间，我们可以利用这些线性的子空间干很多的事情。不过，特征值分解也有很多的局限，比如说变换的矩阵必须是方阵。

在机器学习特征提取中，意思就是最大特征值对应的特征向量方向上包含最多的信息量，如果某几个特征值很小，说明这几个方向信息量很小，可以用来降维，也就是删除小特征值对应方向的数据，只保留大特征值方向对应的数据，这样做以后数据量减小，但有用信息量变化不大，PCA降维就是基于这种思路。

注意：矩阵的特征值要求矩阵是非奇异矩阵（即方阵且行列式的值不为零）

奇异值
特征值及特征值分解都是针对方阵而言，现实世界中，我们看到的大部分矩阵不是方阵，比如每道数据有M个点，一共采集了N道数据，这样就形成了一个N*M的矩阵，那么怎样才能像方阵一样提取出它的特征，以及特征的重要性。奇异值分解就是来干这个事情的。奇异值相当于方阵中的特征值，奇异值分解相当于方阵中的特征值分解。

奇异值分解（SVD）是一种适用于任意矩阵的分解方法。

奇异值分解的原理就不在这里阐述（感兴趣的读者，可以进一步看本博主关于SVD原理的博文）

特征值和奇异值关系
个人觉得：对于非奇异矩阵，对应着特征值。对于奇异矩阵，就需要进行奇异值分解，对应着奇异值。对于奇异矩阵，将A与其转置相乘ATAATA将会得到一个方阵，再求特征值。值得注意的是，对于非奇异矩阵进行奇异值分解（SVD），得到的奇异值，其实就是特征值。