什麼是數據中的奇異值

A. 什麼是奇異值分解

矩陣的跡
trace 方陣對角元素之和

Singular value decompostion
奇異值分解非常有用，對於矩陣A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由對角陣與增廣行或列組成），滿足A = U*B*V
U和V中分別是A的奇異向量，而B中是A的奇異值。AA'的特徵向量組成U，特徵值組成B'B，A'A的特徵向量組成V，特徵值（與AA'相同）組成BB'。因此，奇異值分解和特徵值問題緊密聯系。
如果A是復矩陣，B中的奇異值仍然是實數。
SVD提供了一些關於A的信息，例如非零奇異值的數目（B的階數）和A的階數相同，一旦階數確定，那麼U的前k列構成了A的列向量空間的正交基。
在數值分析中，由於數值計算誤差，測量誤差，雜訊以及病態矩陣，零奇異值通常顯示為很小的數目。
將一個矩陣分解為比較簡單或者性質比較熟悉的矩陣之組合，方便討論和計算。由於矩陣的特徵值和特徵向量在化矩陣為對角形的問題中佔有特殊位置， 因此矩陣的特徵值分解。。。盡管矩陣的特徵值具有非常好的性質，但是並不是總能正確地表示矩陣的「大小」。矩陣的奇異值和按奇異值分解是矩陣理論和應用中十分重要的內容，已成為多變數反饋控制系統最重要最基本的分析工具之一，奇異值實際上是復數標量絕對值概念的推廣， 表示了反饋控制系統的輸出/輸入增益，能反映控制系統的特性。《魯棒控制。。傾斜轉彎導彈》
昨天看了一個網頁，，知道了奇異值分解就是把矩陣A分解成hanger，stretcher，aligner的三重積。從幾何意義上講矩陣A乘以幾何圖形（用數值序列x，y代表），相當於對幾何圖形先扭轉，再拉伸，再扭轉。從這里也知道，「正交」的概念特別有用。一對最簡單的正交基（orthogonal basis,perpframe）是p1 = [cos(s) sin(s)]，p2 = [-sin(s) cos(s)]，它可以用於幾何變換。

B. 在矩陣分析里，什麼叫奇異值和奇異矩陣

奇異值：對於一個實矩陣A（m×n階），如果可以分解為A＝USV』，其中U和V為分別為m×n與n×m階正交陣，S為n×n階對角陣，且S＝diag（a1,a2,...,ar,0,...,
0）。且有a1>=a2>=a3>=...>=ar>=0.那麼a1,a2,...,ar稱為矩陣A的奇異值。U和V成為左右奇異陣列.
A的奇異值為A』A的特徵值的平方根（A』表示A的轉置矩陣），通過此可以求出奇異值.
奇異矩陣就是行列失等於0的矩陣.

C. 奇異值的物理意義是什麼

我以前看過吳軍的數學之美，現在讓我們來看看奇異值分解是怎麼回事。

三個矩陣有非常清楚的物理含義：

1. 矩陣X中的每一行表示意思相關的一類詞，其中的每個非零元素表示這類詞中每個詞的重要性（或者說相關性），數值越大越相關。

2. 矩陣Y中的每一列表示同一主題一類文章，其中每個元素表示這類文章中每篇文章的相關性。

3. 矩陣B則表示類詞和文章之間的相關性。因此，我們只要對關聯矩陣A進行一次奇異值分解，我們就可以同時完成了近義詞分類和文章的分類。

D. SPSS中的奇異值和極端值是什麼怎麼辨別

spss的盒式圖中，1.5倍四分位距以外的數值為奇異值，3倍四分位距以外的數值為極端值。極端值的符號為 *

E. 在矩陣分析里，什麼叫奇異值和奇異矩陣

奇異值是矩陣里的概念，一般通過奇異值分解定理求得。奇異值分解是線性代數和矩陣論中一種重要的矩陣分解法，適用於信號處理和統計學等領域。

奇異矩陣是線性代數的概念，就是該矩陣的秩不是滿秩。

首先，看這個矩陣是不是方陣（即行數和列數相等的矩陣。若行數和列數不相等，那就談不上奇異矩陣和非奇異矩陣）。

然後，再看此矩陣的行列式|A|是否等於0，若等於0，稱矩陣A為奇異矩陣；若不等於0，稱矩陣A為非奇異矩陣。

同時，由|A|≠0可知矩陣A可逆，這樣可以得出另外一個重要結論：可逆矩陣就是非奇異矩陣，非奇異矩陣也是可逆矩陣。 如果A為奇異矩陣，則AX=0有無窮解，AX=b有無窮解或者無解。如果A為非奇異矩陣，則AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。

(5)什麼是數據中的奇異值擴展閱讀

矩陣在物理學中的另一類泛應用是描述線性耦合調和系統。這類系統的運動方程可以用矩陣的形式來表示，即用一個質量矩陣乘以一個廣義速度來給出運動項，用力矩陣乘以位移向量來刻畫相互作用。

求系統的解的最優方法是將矩陣的特徵向量求出（通過對角化等方式），稱為系統的簡正模式。

這種求解方式在研究分子內部動力學模式時十分重要：系統內部由化學鍵結合的原子的振動可以表示成簡正振動模式的疊加。描述力學振動或電路振盪時，也需要使用簡正模式求解。

F. 什麼是奇異值數

奇異值：對於一個實矩陣a（m×n階），如果可以分解為a＝usv』，其中u和v為分別為m×n與n×m階正交陣，s為n×n階對角陣，且s＝diag（a1,a2,...,ar,0,...,
0）。且有a1>=a2>=a3>=...>=ar>=0.那麼a1,a2,...,ar稱為矩陣a的奇異值。u和v成為左右奇異陣列.
a的奇異值為a』a的特徵值的平方根（a』表示a的轉置矩陣），通過此可以求出奇異值.
奇異值分解法是線性代數中一種重要的矩陣分解法，在信號處理、統計學等領域有重要應用。
其定義為定義：設a為m*n階矩陣，a'表示a的轉置矩陣，a'*a的n個特徵值的非
負平方根叫作a的奇異值。記為σi(a)。
如果把a『*a的特徵值記為λi(a『*a)，則σi(a)＝sqrt(λi(a』*a))。
希望能幫助到您，望採納，謝謝

G. 奇異值和特徵值的關系

特徵值分解和奇異值分解（SVD）在主成分分析（PCA）和機器學習領域都有廣泛的應用。PCA的實現由兩種方法，一種是特徵值分解，另一種是奇異值分解，特徵值分解和奇異值分解的目的是一樣的，都是提取出一個矩陣最重要的特性。

特徵值
線性代數中對特徵值和特徵向量的定義：設A是n階方陣，如果存在 λ 和n維非零向量x，使 Ax=λxAx=λx，則 λ 稱為方陣A的一個特徵值，x為方陣A對應於或屬於特徵值 λ 的一個特徵向量。從定義可以看出，對特徵向量x進行A變換的實質是將特徵向量進行縮放，縮放因子為特徵值λ。因此，特徵向量的代數上含義是：將矩陣乘法轉換為數乘操作；特徵向量的幾何含義是：特徵向量通過方陣A變換只進行伸縮，而保持特徵向量的方向不變。特徵值表示的是這個特徵到底有多重要，類似於權重，而特徵向量在幾何上就是一個點，從原點到該點的方向表示向量的方向。

一個變換方陣的所有特徵向量組成了這個變換矩陣的一組基。所謂基，可以理解為坐標系的軸。我們平常用到的大多是直角坐標系，在線性代數中可以把這個坐標系扭曲、拉伸、旋轉，稱為基變換。我們可以按需求去設定基，但是基的軸之間必須是線性無關的，也就是保證坐標系的不同軸不要指向同一個方向或可以被別的軸組合而成，否則的話原來的空間就「撐」不起來了。從線性空間的角度看，在一個定義了內積的線性空間里，對一個N階對稱方陣進行特徵分解，就是產生了該空間的N個標准正交基，然後把矩陣投影到這N個基上。N個特徵向量就是N個標准正交基，而特徵值的模則代表矩陣在每個基上的投影長度。特徵值越大，說明矩陣在對應的特徵向量上的方差越大，功率越大，信息量越多。總結一下，特徵值分解可以得到特徵值與特徵向量，特徵值表示的是這個特徵到底有多重要，而特徵向量表示這個特徵是什麼，可以將每一個特徵向量理解為一個線性的子空間，我們可以利用這些線性的子空間干很多的事情。不過，特徵值分解也有很多的局限，比如說變換的矩陣必須是方陣。

在機器學習特徵提取中，意思就是最大特徵值對應的特徵向量方向上包含最多的信息量，如果某幾個特徵值很小，說明這幾個方向信息量很小，可以用來降維，也就是刪除小特徵值對應方向的數據，只保留大特徵值方向對應的數據，這樣做以後數據量減小，但有用信息量變化不大，PCA降維就是基於這種思路。

注意：矩陣的特徵值要求矩陣是非奇異矩陣（即方陣且行列式的值不為零）

奇異值
特徵值及特徵值分解都是針對方陣而言，現實世界中，我們看到的大部分矩陣不是方陣，比如每道數據有M個點，一共採集了N道數據，這樣就形成了一個N*M的矩陣，那麼怎樣才能像方陣一樣提取出它的特徵，以及特徵的重要性。奇異值分解就是來干這個事情的。奇異值相當於方陣中的特徵值，奇異值分解相當於方陣中的特徵值分解。

奇異值分解（SVD）是一種適用於任意矩陣的分解方法。

奇異值分解的原理就不在這里闡述（感興趣的讀者，可以進一步看本博主關於SVD原理的博文）

特徵值和奇異值關系
個人覺得：對於非奇異矩陣，對應著特徵值。對於奇異矩陣，就需要進行奇異值分解，對應著奇異值。對於奇異矩陣，將A與其轉置相乘ATAATA將會得到一個方陣，再求特徵值。值得注意的是，對於非奇異矩陣進行奇異值分解（SVD），得到的奇異值，其實就是特徵值。